Relações úteis entre algumas distribuições estatísticas

1. Soma do quadrado de normais. Sejam \(X_1,\ldots,X_n\) v.a. independentes tais que \(X_i \sim N(\mu_i,\sigma^2_i), i=1,\ldots,n\), então

   $$
   \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i – \mu_i}{\sigma_i}\right)^2 \sim \chi^2_{(n)}
   $$

2. Multiplicando uma Gama por uma constante. Se \(X \sim Gama(r,\lambda)\) então \(\alpha X \sim Gama(r,\lambda/\alpha)\).
3. Transformação de uma Gama em uma Qui-quadrado. Do item anterior decorre que se \(X \sim Gama(r,\lambda)\), então

   $$
   2\lambda X \sim Gama\left(\frac{2r}{2},\frac{1}{2}\right) \stackrel{d}{=} \chi^2_{(2r)}
   $$

4. Soma de Gamas. Sejam \(X_1,\ldots,X_n\) v.a. independentes tais que \(X_i \sim Gama(r_i,\lambda)\), então

   $$
   X_1 + \ldots + X_n \sim Gama\left(\sum_{i=1}^n r_i ,\lambda\right)
   $$

5. Quociente de Gamas. Sejam \(X \sim Gama(a,b)\) e \(Y \sim Gama(c,b)\) independentes, então

   $$
   \frac{X}{X+Y} \sim Beta(a,c)
   $$

6. Quociente de Qui-quadrados. Sejam X e Y v.a. independentes tais que \(Y \sim \chi^2_{(m)}\) e \(X \sim \chi^2_{(n)}\), então

   $$
   Z = \frac{Y/m}{X/n} \sim F(m,n)
   $$

7. Quociente de Normal por Qui-Quadrado (distribuição t). Sejam \(Z \sim N(0,1)\) e \(X \sim \chi^2_{(n)}\), Z e X independentes, então

   $$
   T = \frac{Z}{\sqrt{X/n}} \sim t_{n}
   $$

8. Quociente de F-Snedecors. Se X tem distribuição \(F(m,n)\) então

   $$
   Y = \frac{mX/n}{1 + mX/n} \sim Beta\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)
   $$

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