Teste de Hipóteses – O que acontece ao inverter a ordem das hipóteses?

Matérias: Estatística, Inferência Estatística, Teste de Hipóteses Nível de dificuldade: Fácil Fonte: MAE0311 Palavras-chave: distribuição gama, Lema de Neyman-Pearson, Teste M.P. | 0 comentário

1. Testes

1. Seja $X_1,\ldots,X_n$ uma amostra aleatória da variável aleatória $X \sim Exp(\theta)$. Queremos testar $H_0: \theta = 2$ versus $H_1: \theta = 1$. Qual o teste mais poderoso para $\alpha = 0.05$ e $n = 10$?

Pelo Lema de Neyman-Pearson, temos que o teste mais poderoso, dado $\alpha$ fixado, terá região crítica dada por

$$
A_1^* = \left\{x; \frac{L_1(x)}{L_0(x)} \geq k \right\}
$$

Notemos então que

$$
\frac{L_1(\theta;x)}{L_0(\theta;x)} = \frac{e^{-n\sum x_i}}{2^n e^{-2n\sum x_i}}= 2^{-n}e^{n\sum x_i} \geq k \quad (eq:1)
$$

Que é equivalente a rejeitar $H_0$ quando $\sum{x_i} \geq \frac{\log{k2^n}}{n} = c$. Portanto a região crítica do teste MP será dada por:

$$
A_1^* = \left\{x, \sum x_i \geq c \right\}
$$

Tomando $\alpha = 0.05$, c é tal que

$$
P_{H_0} \left( \sum X_i \geq c \right) = 0.05
$$

Notando que sob $H_0$, $\sum X_i \sim Gama(10,2)$, obtemos $c = 7.8526$. Ou seja, a região crítica será dada por

$$
A_1^* = \left\{x, \sum x_i \geq 7.8526 \right\}
$$
Analogamente obtemos $\beta = P_{H_1} \{ x \notin A_1^* \} = 0.2653$.

2. Mantenhamos agora o problema exatamente da mesma forma. Só que troquemos as hipóteses, fazendo $H_0: \theta = 1$ e $H_1: \theta = 2$.

Não é difícil ver que as contas permanecem praticamente as mesmas. Invertendo a fração do lado esquerdo da equação (eq:1) temos:

$$
\frac{L_1(\theta;x)}{L_0(\theta;x)} = 2^{n}e^{-n\sum x_i} \geq k
$$

Que é equivalente a rejeitar $H_0$ quando $\sum{x_i} \leq \frac{\log{k2^n}}{n} = c$. Portanto a região crítica do teste MP será dada por:

$$
A_1^* = \left\{x, \sum x_i \leq c \right\}
$$

Notando agora que sob $H_0$, $\sum{X_i} \sim Gama(10,1)$ e sob $H_1$, $\sum{X_i} \sim Gama(10,2)$ temos que a região crítica do teste MP para $\alpha = 0.05$ e $n = 10$ será dada por

$$
A_1^* = \left\{x, \sum x_i \leq 5.4254 \right\}
$$

Analogamente obtemos $\beta = P_{H_1} \{ x \notin A_1^* \} = 0.3567$.

2. Interpretação das Regiões Críticas Obtidas

Na figura abaixo, temos os gráficos de densidade de probabilidade para $\sum{X_i}$ e as respectivas regiões críticas para o primeiro e para o segundo testes propostos.

Ver código RSPLUS

 par(mfrow=c(2,1))
 
 curve(dgamma(x,10,2),xlim=c(0,15),ylab='',col='blue',main=expression(paste(H[0],': ',theta,'=',2,' versus  ',H[1],': ',theta,'=',1)))
 curve(dgamma(x,10,1),xlim=c(0,15),col='red',add=T)
 legend(11,0.25,c('Gama(10,1)','Gama(10,2)'),fill=c('red','blue'))
 polygon(c(7.8526,seq(7.8526,15,0.01),15),c(0,dgamma(seq(7.8526,15,0.01),10,2),0),col='blue',border=NA)
 
 curve(dgamma(x,10,2),xlim=c(0,15),ylab='',col='blue',main=expression(paste(H[0],': ',theta,'=',1,' versus  ',H[1],': ',theta,'=',2)))
 curve(dgamma(x,10,1),xlim=c(0,15),col='red',add=T)
 legend(11,0.25,c('Gama(10,1)','Gama(10,2)'),fill=c('red','blue'))
 polygon(c(0,seq(0,5.4254,0.01),5.4245),c(0,dgamma(seq(0,5.4254,0.01),10,1),0),col='red',border=NA)

Teste de hipóteses ilustração das regiões críticas

Estamos testando em ambos os casos se a amostra retirada veio de uma população exponencial com parâmetro $\theta = 1$ (designemos essa população de população A) ou $\theta = 2$ (população B), o que implica que a média para a população A será 1 e para a B será $\frac{1}{2}$.

Analisando a primeira região crítica encontrada, ela faz sentido de acordo com a interpretação intuitiva: rejeitamos $H_0: \theta = 2$, quando a soma dos valores observados exceder um determinado valor fixado. É natural que seja assim, se levarmos em conta que a amostra veio da população A, ela vai ter uma média maior, e portanto, quanto maior a soma dos valores, maior a chance de que $H_1: \theta = 1$ é mais apropriada e portanto maiores as evidências para rejeitar $H_0$.

A segunda região crítica encontrada, rejeita $H_0$ quando a soma dos valores obtidos na amostra não atinge um determinado valor. Isso também faz sentido, porque agora temos que se $H_0$ for verdadeira, a amostra veio da população A e portanto deve ter uma soma maior do que se tivesse vindo da população B. Assim, quanto menor for a soma dos valores, maiores são as evidências contra $H_0$ e a favor de $H_1$.

Por fim as disparidades ficam com relação aos erros tipo II: como uma $Gama(10,2)$ é mais leptocúrtica que uma $Gama(10,1)$, e no segundo caso a região crítica fica um pouco à direita do ponto de máximo da densidade, é também esperado que o erro tipo II seja maior para o segundo caso.