Probabilidade – Transformação de variáveis aleatórias

Seja X uma variável aleatória tendo função de distibuição F. Defina a variável aleatória \(Y=F(X)\). Mostrar que Y é distribuída uniformemente em [0,1].

Seja G a função de distribuição de Y, temos:
$$
\begin{eqnarray*}
G(y) &=& P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y) = P(F^{-1}(F(X)) \leq F^{-1}(y)) = \\
&=& P(X \leq F^{-1}(y)).
\end{eqnarray*}
$$

Onde \(F^{-1}\) é a inversa de F. Pela definição da função inversa, temos que:

$$
F^{-1}(y) = w \Leftrightarrow P(X \leq w) = y
$$
Substituindo:

$$
G(y) = P(X \leq w) = y.
$$

Mas se em [0,1], G(y) = y, temos que Y segue uma distribuição uniforme em [0,1] e portanto fica demonstrado o enunciado.

• Relacionados
• Favoritos
• Outros recursos