Probabilidade – Prova I
1) Prove ou demostre a impossibilidade das afirmações:
a) Se A e B são eventos aleatórios disjuntos com \(P(A) = \frac{1}{3}\), \(P(B^C) = \frac{1}{4}\).
b) Se \(P(A^C) = \alpha\), \(P(B^C) = \beta\), então \(P(A \cap B) \geq 1 – \alpha – \beta\).
2) Três jogadores A, B e C lançam suas moedas simultaneamente, com probabilidade de caras iguais a \(p_A = 0,25\), \(p_B = 0,5\) e \(p_C = 0,75\), respectivamente, até que obtenham resultados diferentes. Qual a probabilidade de C ganhar o jogo? (Obs. N = No. de jogadas anteriores à jogada final e regra da probabilidade total).
3) Seja X uma variável aleatória contínua, distribuída uniformemente em um intervalo com média igual a 1 e com variância igual a \(\frac{4}{3}\). Calcule \(P(X < 0)\).
4) Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de Poisson com parâmetro igual a 1. Calcule \(E(|X-1|)\). (Obs. \(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e)\).
5) Um capital de R$ 20.000,00 deve ser investido em 4 tipos de ações. Os investimentos devem ser em milhares inteiros de reais e para cada tipo de ação exige-se uma quantidade mínima de investimento de 2,2,3 e 4 mil reais. Quantas estratégias de investimento devemos considerar se todo o capital deve ser investido?
6) Um “Boêmio” faz seu passeio sobre as posições \(0,\pm 1, \pm 2, \ldots\), como segue: ele começa no zero e dá passos sucessivos, unitários e independentes, conduzindo-se para a direita com probabilidade \(\frac{1}{3}\) ou para a esquerda com probabilidade \(\frac{2}{3}\). Seja a variável aleatória X, sua posição depois de 5 passos. Mostre que \(\frac{X+5}{2}\) tem distribuição Binomial de parâmetro 5 e \(\frac{1}{3}\). Calcule E(X).
7) Um ponto é escolhido uniformemente de um lado de um triângulo eqüilátero de comprimento igual a 1. Qual a função de distribuição da distância entre o ponto escolhido e o vértice oposto?
- Originalmente fazia parte da Prova 1 de MAE0221.
