Probabilidade – Esperança e variância

Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
$$
f(x) = |1-x|I_{[0,2]}(x).
$$
Encontre a média e a variância de X.

Temos que:
$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \textrm{d}x
$$

Entretanto como \(I_{[0,2]}(x) = 0\) se \(x \notin [0,2]\) reduzimos os limites de integração da integral acima para:

$$
E[X] = \int_{0}^{2} xf(x) \textrm{d}x = \int_{0}^{2} |1-x|x \textrm{d}x
$$

Não podemos integrar a função módulo diretamente, mas podemos quebrar a integral em duas, de forma que conheçamos o valor do módulo naqueles limites:

$$
\begin{eqnarray*}
E[X] &=& \int_{0}^{1} (-1+x)x \textrm{d}x + \int_{1}^{2} (1-x)x \textrm{d}x \\
&=& \int_{0}^{1} x^2 – x \textrm{d}x + \int_{1}^{2} x – x^2 \textrm{d}x \\
&=& \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]^1_0 + \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]^2_1 \\
&=& -1.
\end{eqnarray*}
$$

Logo E[X] = -1. Calculemos agora Var(X):

$$
Var(X) = E[X^2] – E^2[X]
$$

Temos \(E^2[X] = 1\), resta-nos achar \(E[X^2]\).

$$
\begin{eqnarray*}
E[X^2] &=& \int_{0}^{2} x^2f(x) \textrm{d}x = \int_{0}^{2} |1-x|x^2 \textrm{d}x\\
&=& \int_{0}^{1} (-1+x)x^2 \textrm{d}x + \int_{1}^{2} (1-x)x^2 \textrm{d}x \\
&=& \int_{0}^{1} x^3 – x^2 \textrm{d}x + \int_{1}^{2} x^2 – x^3 \textrm{d}x \\ &=& \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}\right]^1_0 + \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]^2_1 \\
&=& -\frac{3}{2}.
\end{eqnarray*}
$$

Então:
$$
Var(X) = -\frac{3}{2} – 1 = -\frac{5}{2}.
$$

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