Potenciação Exercício 10

Potenciação Exercício 10

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Se \(a\) e \(b\) são números reais positivos tais que $$(a^2 + b^3)(a^2 – b^3) = \frac{2^3}{3^7} – b^6$$, pode-se afirmar que \( a^{-\frac{1}{3}} \) é igual a:

a) \( \sqrt[12]{3^{-7}2^{-3}} \)
b) \( \sqrt[12]{3^{-7}2^{3}} \)
c) \( \sqrt[3]{3^{28}2^{-12}} \)
d) \( \sqrt[3]{3^{28}2^{12}} \)
e) \( \sqrt[4]{6^{-21}} \)

Resposta

Alternativa a

Solução

A expressão do primeiro membro é a forma fatorada de uma diferença de 2 quadrados. Expandindo a expressão e anulando os termos temos: $$(a^2 + b^3)(a^2 – b^3) = a^4 – a^2b^3 + a^2b^3 – b^6 = a^4 – b^6$$ Substituindo esse valor na equação: $$a^4 – b^6 = \frac{2^3}{3^7} – b^6$$ $$a^4 = \frac{2^3}{3^7}$$ $$a = \sqrt[4]{\frac{2^3}{3^7}}$$ Substituindo esse valor de \(a\) na expressão \(a^{-\frac{-1}{3}} \), temos: $$\sqrt[4]{\frac{2^3}{3^7}}^{\frac{-1}{3}} = $$ $$ = \left( \frac{\sqrt[4]{2^3} }{\sqrt[4]{3^7}} \right)^{\frac{-1}{3}} = $$ $$ \sqrt[12]{\frac{3^{-7}}{2^3}} = \sqrt[12]{3^{-7}2^{-3}}$$

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