Distribuição conjunta – pontos em uma reta

Dois pontos são escolhidos aleatoriamente em uma linha de comprimento L de forma que estejam de lados opostos ao ponto médio da linha. Em outras palavras, os dois pontos X e Y são variáveis aleatórias independentes tais que X é uniformemente distribuída sobre \(\left(0,\frac{L}{2}\right)\) e Y é uniformemente distribuída sobre \(\left(\frac{L}{2},L\right)\). Encontre a probabilidade de que a distância entre os dois pontos é maior do que \(\frac{L}{3}\).

Do enunciado temos que:
$$
\begin{array}{cc}
f_X(x) = \left\{ \begin{array}{lc} \frac{2}{L} & \textrm{se } 0 \lt x \lt \frac{L}{2} \\ 0 & \textrm{cc.} \end{array}\right. &
f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{lc} \frac{2}{L} & \textrm{se } \frac{L}{2} \lt y \lt L \\ 0 & \textrm{cc.} \end{array}\right.
\end{array}
$$

Como X e Y são independentes, temos que a densidade conjunta será dada por:

$$
f_{X,Y}(x,y) = \left\{ \begin{array}{lc} \frac{4}{L^2} & \textrm{se } 0 \lt x \lt \frac{L}{2} \textrm{ e } \frac{L}{2} \lt y \lt L \\
0 & \textrm{cc.}
\end{array} \right.
$$

Seja D = Y-X a distância entre os dois pontos escolhidos, queremos:

$$
P\left(D \gt \frac{L}{3}\right) = P\left(Y – X > \frac{L}{3}\right) = P\left( Y \gt \frac{L}{3} + X\right)
$$

Na figura abaixo temos a região de integração que devemos tomar para calcular essa probabilidade utilizando a densidade conjunta obtida acima. Observando a figura notamos que podemos dividir essa região em duas (um retângulo e um trapézio), obtendo assim

Região de integração desejada

$$
\begin{eqnarray*}
P\left( Y \gt \frac{L}{3} + X\right) & = & \int_0^{L/6} \int_{L/2}^{L} f(x,y) \textrm{ d}y \textrm{d}x + \int_{L/6}^{L/2} \int_{L/3 + x}^{L} f(x,y) \textrm{ d}y \textrm{d}x \\
&=& \int_0^{L/6} \int_{L/2}^{L} \frac{4}{L^2} \textrm{ d}y \textrm{d}x + \int_{L/6}^{L/2} \int_{L/3 + x}^{L} \frac{4}{L^2} \textrm{ d}y \textrm{d}x \\
&=& \frac{4}{L^2} \left(L – \frac{L}{2}\right) \frac{L}{6} + \int_{L/6}^{L/2} \frac{4}{L^2} [y]^L_{L/3+x} \textrm{ d}x \\
&=& \frac{1}{3} + \int_{L/6}^{L/2} \frac{4}{L^2} [y]^L_{L/3+x} \textrm{ d}x
= \frac{1}{3} + \int_{L/6}^{L/2} \frac{8}{3L} – \frac{4x}{L^2} \textrm{ d}x \\
&=& \frac{1}{3} + \left[ \frac{8}{3L}x - \frac{2}{L^2}x^2 \right]^{L/2}_{L/6} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \\
&=& \frac{7}{9}
\end{eqnarray*}
$$

Podemos ainda verificar o resultado deste cálculo com uma simulação em R:

1
2
3
4
5
6
7

> L <- 1
> x <- runif(10^7,0,L/2)
> y <- runif(10^7,L/2,L)
> sum(y-x> L/3)/10^7
[1] 0.778
> 7/9 
[1] 0.778

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