Análise Combinatória – Permutações em uma fila

Análise Combinatória – Permutações em uma fila


Se n homens, entre os quais A e B, estão numa fila, qual é a probabilidade de que existam exatamente r homens entre A e B? Se eles permanecerem em pé em um círculo ao invés de numa fila, mostre que a probabilidade é independente de r e igual a \((n-1)^{-1}\).

Queremos dispor n homens em fila, temos então que a cardinalidade do espaço amostral é dada por n!. Sendo o evento A : existem exatamente r homens entre os homens A e B, temos:

$$
P(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} = \frac{\#(A)}{n!}.
$$

Resta-nos calcular a cardinalidade de A. Em primeiro lugar notemos que podemos dispor A e B de 2! maneiras. Em seguida, fixadas as posições de A e B, vamos colocar r homens entre eles. Isso pode ser feito de \((n-2)_r\) maneiras. Por fim, temos ainda que ordenar os homens restantes. Tirando A e B, e os r homens entre eles, restam n-r-2 homens para dispormos na fila. Considerando todos os homens de A até B como um bloco, há então (n-r-2+1)! = (n-r-1)! maneiras de dispor esses homens. Temos então a cardinalidade de A dada por \(2!(n-2)_r (n-r-1)!\) e portanto:
$$
P(A) = \frac{2!(n-2)_r (n-r-1)!}{n!}.
$$

Vamos agora supor que os homens permanecam em pé em um círculo ao invés de numa fila. Temos que a cardinalidade do espaço amostral é dada por \((n-1)!\). Resta-nos encontrar a cardinalidade do evento procurado.

Em primeiro lugar fixemos os dois homens A e B. Não precisamos multiplicar por 2! pois como eles estão num circulo, rotacionando-se as posições temos que AB e BA são a mesma configuração. Fixados os dois homens, vamos tomar r homens que ficarão entre eles. Novamente isso pode ser feito de \((n-2)_r\) maneiras. Consideramos que os r homens que ficam entre A e B não estão numa permutação circular e sim numa fila entre A e B, por isso o resultado anterior.

Por fim, fixados os dois homens A e B, escolhidos os r homens entre eles, nos restam n-2-r homens para dispormos em círculo. Se considerarmos todos os homens entre A e B (A e B inclusos) como um bloco, temos então n-2-r+1 homens para permutar em um círculo. Da fórmula para permutação circular, temos que isso pode ser realizado de (n-2-r+1-1)! = (n-2-r)! maneiras. Temos então:

$$
P(A) = \frac{(n-2)_r(n-2-r)!}{(n-1)!} = \frac{\frac{(n-2)!}{(n-2-r)!}(n-2-r)!}{(n-1)(n-2)!} = \frac{1}{(n-1)} = (n-1)^{-1}
$$

Chegando no resultado proposto no enunciado.

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